О ядрах инвариантных операторов Шрёдингера с точечными взаимодействиями. Задача Гриневича–Новикова

Согласно Березину–Фаддееву под оператором Шрёдингера с точечными взаимодействиями
$$ -\Delta+\sum\limits_{j=1}^m\alpha_j\delta(x-x_j),\, X=\{x_j\}_1^m\subset\mathbb R^3,\, \{\alpha_j\}_1^m\subset\mathbb R $$
понимают любое самосопряжённое расширение сужения $-\Delta_X$ оператора Лапласа $-\Delta$ на подмножество $\{f\in H^2(\mathbb R^3): f(x_j)=0, 1\leq j\leq m\}$ соболевского пространства $H^2(\mathbb R^3)$. В настоящей заметке изучаются расширения (реализации), инвариантные относительно группы симметрий множества $X=\{x_j\}_1^m$ вершин правильного $m$-угольника. Такие реализации $H_B$ параметризуются специальными циркулянтными матрицами $B\in\mathbb C^{m\times m}$. Мы описываем все такие реализации с нетривиальными ядрами. Решена задача Гриневича–Новикова о простоте нулевого собственного значения реализации $H_B$ со скалярной матрицей $B=\alpha I$ и четным $m$. Показано, что при нечётном $m$ нетривиальные ядра всех реализаций $H_B$ со скалярными $B\in\mathbb C^{m\times m}$ двумерны.
Кроме того, для произвольных реализаций ($B\neq\alpha I$) доказана оценка $\operatorname{dim}(\operatorname{ker} H_B)\leq m-1$ и описаны все инвариантные реализации с максимальной размерностью $\operatorname{dim}(\operatorname{ker} H_B)=m-1$. Одна из них – расширение Крейна – минимальное положительное расширение оператора $-\Delta_X$.