Нелинейные вариационные неравенства с двусторонними ограничениями, совпадающими на множестве положительной меры

Рассмотрены вариационные неравенства с обратимыми операторами $\mathcal A_s\colon W^{1,p}_0(\Omega)\to W^{-1,p'}(\Omega)$, $s\in\mathbb N$, дивергентного вида и множеством ограничений $V=\{v\in W^{1,p}_0(\Omega):\varphi\leq v\leq \psi\}$ п.в.в $\Omega\}$, где $\Omega$ – непустое ограниченное открытое множество в $\mathbb R^n$ ($n\geq2$), $p>1$ и $\varphi,\psi\colon\Omega\to\bar{\mathbb R}$ – измеримые функции. В предположении, что операторы $\mathcal A_s$ $G$-сходятся к обратимому оператору $\mathcal A\colon W^{1,p}_0(\Omega)\to W^{-1,p'}(\Omega)$, $\operatorname{int}\{\varphi=\psi\}\neq\varnothing$, $\operatorname{meas}(\partial\{\varphi=\psi\}\cap\Omega)=0$ и существуют функции $\varphi,\overline{\psi}\in W^{1,p}_0(\Omega)$, такие, что $\varphi\leq\overline{\psi}\leq\psi$ п.в. в $Q$ и $\operatorname{meas}(\{\varphi\neq\psi\}\setminus\{\overline{\varphi}\neq\overline{\psi}\})=0$, установлена слабая сходимость в $W^{1,p}_0(\Omega)$ решений $u_s$ указанных вариационных неравенств к решению $u$ аналогичного вариационного неравенства с оператором $\mathcal A$ и множеством ограничений $V$. Принципиальное отличие рассмотренного случая от ранее исследованного случая, в котором $\operatorname{meas}\{\varphi=\psi\}=0$, состоит в том, что, вообще говоря, функционалы $\mathcal A_su_s$ не сходятся к $\mathcal Au$ даже слабо в $W^{-1,p'}(\Omega)$ и интегралы энергии $\langle\mathcal A_su_s,u_s\rangle$ не сходятся к $\langle\mathcal Au,u\rangle$.