Нахождение распределений площади и периметра для плоских пуассоновских процессов прямой и мозаик Вороного

Изучение функций распределения (по площадям, периметрам) для разбиения плоскости (пространства) случайным полем прямых (гиперплоскостей) а также для мозаик Вороного представляет собой классическую задачу стохастической геометрии. Начиная с 1972 г. [1] по настоящее время исследовались моменты для таких распределений . Мы даем полное решение этих задач для плоскости, а также для мозаик Вороного. Решаются следующие задачи.
1. На плоскости задан случайный набор прямых, все сдвиги равновероятны, а закон распределения имеет вид $F(\varphi)$. Каково распределение частей разбиения по площадям (периметрам)?
2. На плоскости отмечен случайный набор точек. С каждой точкой $A$ связана “область притяжения”, представляющая собой набор точек на плоскости, к которым точка $A$ является ближайшей из множества отмеченных.
Идея состоит в интерпретации случайного многоугольника как эволюции отрезка на движущейся плоскости и построения кинетических уравнений. При этом достаточно учитывать ограниченное число параметров: пройденную площадь (периметр), длину отрезка, углы при его концах. Мы покажем, как свести эти уравнения к уравнению Риккати, используя преобразование Лапласа.