О существовании решения вырожденного нелинейного уравнения Бюргерса с малым параметром и теория $p$-регулярности

В статье рассматриваются различные модификации нелинейного уравнения Бюргерса с малым параметром и вырожденного в решении вида
$$ F(u,\varepsilon)\equiv u_t=u_{xx}+uu_x+\varepsilon u^2-f(x,t)=0,\qquad (1) $$
где $F\colon \Omega\to C([0,\pi]\times [0,T])$, $T>0$, $\Omega=C^2([0,\pi]\times[0,T])\mathbb R$ и $u(0,t)=u(\pi,t)=0$, $u(x,0)=\varphi(x)$, $f(x,t)\in C([0,\pi]\times[0,T])$, $\varphi(x)\in C[0,\pi]$. Нас будет интересовать наиболее важный в приложениях случай малого параметра $\varepsilon$ с осциллирующими начальными условиями вида $\varphi(x)=k\sin{x}$, где $k$ – некоторая, вообще говоря, зависящая от $\varepsilon$, константа, и изучать вопрос существования решения в окрестности тривиального $(u*,\varepsilon*)=(0,0)$, которому соответствует $k=k*=0$ и при каких начальных условиях на значения $k$ возможно построение аналитического приближения этого решения при малых $\varepsilon$.
Мы будем искать решение в традиционном русле разделения переменных на подпространстве функций вида $u(x,t)=v(t)u(x)$, где $v(t)=ce^{-t}$, $u(x)\in C^2([0,\pi])$. В этом случае рассматриваемая задача является вырожденной в точке $(u*,\varepsilon*)=(0,0)$, так как $\operatorname{Im} F'_u(u*,\varepsilon*)\neq Z=C([0,\pi]\times[0,T])$. Это следует из теории Штурма–Лиувилла. Для осуществления наших целей мы применяем аппарат теории $p$-регулярности [6, 7, 15, 16] и показываем, что отображение $F(u,\varepsilon)$ является $3$-регулярным в точке $(u*,\varepsilon*)=(0,0)$, т.е. $p=3$.