Об уплотнениях на $\sigma$-компактные пространства

В работе доказывается следующий результат. Пусть полное метрическое пространство $X$ веса $w(X)$ и множество $H\subseteq X$ таковы, что $w(X)<|H|<c$. Тогда не существует непрерывной биекции подпространства $X\setminus H$ на $\sigma$-компактное пространство. Как следствие, не существует непрерывной биекции подпространства $X\setminus H$ на польское пространство. Таким образом, доказано, что метрические компакты не являются $a_\tau$-пространствами ни для какого несчетного кардинального числа $\tau$. Этот результат является ответом на вопрос, поставленный Е.Г. Пыткеевым в работе (О свойствах подклассов слабо диадических компактов, Сиб. мат. журнал.).