О длине периода функциональной непрерывной дроби над числовым полем

В классическом случае давно известна связь между условием периодичности непрерывной дроби элемента $\sqrt{f}$ и условием существования фундаментальной единицы соответствующего гиперэллиптического поля $\mathscr{L}=K(x)(\sqrt{f})$, где $K$ – поле характеристики, отличной от 2. Для элемента $\sqrt{f}$ длина периода непрерывной дроби, построенной в поле формальных степенных рядов $K((1/x))$, может быть тривиальным образом оценена сверху удвоенной степенью фундаментальной единицы. Значительно более сложной и интересной является задача о верхней оценке длин периодов других элементов гиперэллиптического поля $\mathscr{L}$, обладающих периодической непрерывной дробью. Среди таких элементов ключевую роль играют элементы вида $\sqrt{f}/x^s$, $s\in\mathbb Z$. Для таких элементов длина периода может многократно превосходить удвоенную степень фундаментальной единицы. Найдены верхние оценки на длины периодов некоторых ключевых элементов гиперэллиптических полей $\mathscr{L}$ над числовыми полями $K$. Найден пример, демонстрирующий точность доказанных верхних оценок.