Кольца целых в числовых полях и решетки корней

В работе исследуется, может ли корневая решетка быть подобна решетке $\mathscr{O}$ всех целых элементов числового поля $K$, снабженной внутренним произведением $(x,y):=\operatorname{Trace}_{K/\mathbb{Q}}(x\cdot\theta(y))$, где $\theta$ – инволюция поля $K$. Для каждого из следующих трех свойств (1), (2), (3) получена классификация всех пар $K$, $\theta$, обладающих этим свойством: (1) $\mathscr{O}$ является решеткой корней; (2) $\mathscr{O}$ подобна четной решетке корней; (3) $\mathscr{O}$ подобна решетке $\mathbb{Z}^{[K:\mathbb{Q}]}$. Получены также необходимые условия подобия $\mathscr{O}$ решетке корней других типов. Доказано, что $\mathscr{O}$ не может быть подобна положительно определенной четной унимодулярной решетке ранга $\le$48, в частности, решетке Лича.