Векторы разнообразия шаров для графов и оценки их компонент

Изучаются векторы разнообразия шаров ($i$-я компонента векторa равна числу различных шаров радиуса $i$) для обыкновенных связных графов и свойства их компонент. Получены точные верхние и нижние оценки числа различных шаров заданного радиуса для $n$-вершинных графов (деревьев) и $n$-вершинных деревьев (графов при $n\geqslant 2d$) диаметра $d$. Показана достижимость таких оценок в одном графе независимо от рассматриваемого радиуса шаров. Доказано необходимое и достаточное условие существования $n$-вершинного графа диаметра $d$ с локальным (полным) разнообразием шаров.