О некоторых свойствах коротковолновой статистики временных рядов FOREX

Финансовая математика является одним из наиболее естественных приложений для статистического анализа временных рядов. Действительно, финансовые временные ряды являются порождением одновременной деятельности большого числа различных экономических агентов, что дает основания ожидать, что к ним могут быть применимы методы статистической физики и теории случайных процессов. В настоящей работе проведен статистический анализ временных рядов для пар валют на рынке FOREX. Особый интерес представляет сравнение поведения временного ряда как функции, с одной стороны, физического времени и, с другой стороны, условного торгового времени, измеряемого в числе элементарных актов изменения цены (тиков). Экспериментально наблюдаемая статистика рассмотренных временных рядов (пар валют «евро – доллар» для первых половин 2007 и 2009 годов и «британский фунт – доллар» для 2007 года) радикально отличается в зависимости от выбора способа измерения времени. Так, при измерении времени в единицах тиков распределение приращений цены может быть хорошо описано нормальным распределением уже на масштабе порядка десяти тиков. При этом при измерении приращений цены как функции реального физического времени распределение приращений продолжает радикально отличаться от нормального, вплоть до масштабов порядка минут и даже часов. Для объяснения этого явления нами исследованы статистические свойства элементарных приращений по цене и по времени. В частности, показано, что распределение времени между тиками для всех трех рассмотренных временных рядов имеет длинные (1–2 порядка по времени) степенные хвосты с экспоненциальным обрезанием на больших временах. Получены приближенные выражения для распределений времен ожидания для всех трех рассмотренных случаев. Другие статистические характеристики временного ряда (распределение элементарных изменений цены, парные корреляционные функции для приращений цены и для времен ожидания) демонстрируют достаточно простое поведение. Таким образом, именно аномально широкое распределение времен ожидания играет наиболее важную роль в наблюдаемом отклонении распределения приращений от нормального. В связи с этим результатом мы обсуждаем возможность применения модели случайного процесса с непрерывным временем (continuous time random walk, CTRW) для описания временных рядов FOREX.