|
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
Клеточно-автоматные методы решения классических задач математической физики на гексагональной сетке. Часть 2
И. В. Матюшкинab a Институт проблем проектирования в микроэлектронике РАН,
Россия, 124681, г. Москва, г. Зеленоград, ул. Советская, д. 3
b АО «Научно-исследовательский институт молекулярной электроники»,
Россия, 124460, г. Москва, г. Зеленоград, 1-ый Западный проезд, д. 12/1
Аннотация:
Во второй части статьи, носящей более прикладной характер, завершается рассмотрение трех классических уравнений математической физики (Лапласа, диффузии и волнового) простейшими численными схемами в формулировке клеточных автоматов (КА). На нескольких примерах, относящихся к гексагональной сетке, показана специфика такого решения и подтверждаются выводы первой части, в частности о выполнении свойства консервативности и эффекте избыточной гексагональной симметрии (ИГС). При решении задачи Неймана для колебаний круглой мембраны показана критичность требований к дискретизации условий для граничных КА-ячеек. Для квазиодномерной задачи «диффузия в полупространство» сравниваются КА-расчеты, проводимые по простой схеме и с использованием обобщенного блочно-поворотного механизма Марголуса. При решении смешанной задачи для классического случая колебания круглой мембраны с закрепленными концами показано, что одновременное применение метода Кранка-Николсон и учет членов второго порядка позволяет избежать ИГС-эффекта, наблюдаемого нами для более простой схемы. С точки зрения КА центральное место занимает уравнение диффузии, на пути решения которого на бесконечных временах находится решение краевой задачи для уравнения Лапласа, а путем введения вектор-переменной становится разрешимо волновое уравнение (по крайней мере скалярное). На примере центрально-симметричной задачи Неймана продемонстрирован новый способ введения пространственных производных в postfix-процедуру КА, отражающую временные производные (основанием является уравнение непрерывности). Для случая центральной симметрии эмпирически найдено значение константы, связывающее эти производные. Показано, что препятствием к применению КА-методов для таких задач являются низкая скорость сходимости и точность, лимитируемая точностью дискретизации границ, а не формальной точностью метода (4-й порядок); наша рекомендация состоит в использовании техники multigrid. При решении квазиодномерного уравнения диффузии (двумерным КА) показано, что блочно-поворотный КА (по механизму Марголуса) более эффективен, чем простой КА.
Ключевые слова:
клеточные автоматы с непрерывными значениями, гексагональная сетка, конечно-разностные методы, уравнения в частных производных.
Поступила в редакцию: 06.03.2017 Исправленный вариант: 07.07.2017 Принята в печать: 14.07.2017
Образец цитирования:
И. В. Матюшкин, “Клеточно-автоматные методы решения классических задач математической физики на гексагональной сетке. Часть 2”, Компьютерные исследования и моделирование, 9:4 (2017), 547–566
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/crm82 https://www.mathnet.ru/rus/crm/v9/i4/p547
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 201 | PDF полного текста: | 85 | Список литературы: | 22 |
|