|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ОСНОВЫ ИХ РЕАЛИЗАЦИИ
Весовой векторный метод конечных элементов и его приложения
В. А. Рукавишников, А. О. Мосолапов Вычислительный центр ДВО РАН,
Россия, 680011, г. Хабаровск, ул. Ким ЮЧена, д. 65
Аннотация:
Математические модели многих естественных процессов описываются дифференциальными уравнениями с особенностями решения. Классические численные методы для нахождения приближенного решения таких задач оказываются неэффективными. В настоящей работе рассмотрена краевая задача для векторного волнового уравнения в двумерной $\mathrm{L}$-образной области. Наличие входящего угла величиной $3\pi/2$ на границе расчетной области обусловливает сильную сингулярность задачи, то есть ее решение не принадлежит пространству Соболева $H^1$, в результате чего классические и специализированные численные методы имеют скорость сходимости ниже чем $O(h)$. Поэтому в работе введено специальное весовое множество вектор-функций. В этом множестве решение рассматриваемой краевой задачи определено как $R_{\nu}$-обобщенное.
Для численного нахождения $R_{\nu}$-обобщенного решения построен весовой векторный метод конечных элементов. Основным отличием этого метода является введение в базисные функции в качестве сомножителя специальной весовой функции в степени, определяемой свойствами решения исходной краевой задачи. Это позволило существенно повысить скорость сходимости приближенного решения к точному при измельчении конечно элементной сетки. Кроме того, введенные базисные функции соленоидальны, что обеспечило точный учет условия соленоидальности искомого решения и предотвратило появление ложных численных решений.
Представлены результаты численного эксперимента для серии модельных задач различных типов: для задач, решение которых содержит только сингулярную составляющую, и для задач, решение которых содержит как сингулярную, так и регулярную составляющие. Результаты численного анализа показали, что при измельчении конечно элементной сетки скорость сходимости построенного весового векторного метода конечных элементов составляет $O(h)$, что по порядку степени в полтора раза выше, чем в разработанных к настоящему времени специализированных методах решения рассматриваемой задачи: методе сингулярных дополнений и методе регуляризации. Другие особенности построенного метода — его алгоритмическая простота и естественность определения решения, что является преимуществом при проведении численных расчетов.
Ключевые слова:
весовой векторный метод конечных элементов, весовые пространства, $R_{\nu}$-обобщенное решение, краевые задачи с сингулярностью.
Поступила в редакцию: 01.06.2018 Исправленный вариант: 19.06.2018 Принята в печать: 27.12.2018
Образец цитирования:
В. А. Рукавишников, А. О. Мосолапов, “Весовой векторный метод конечных элементов и его приложения”, Компьютерные исследования и моделирование, 11:1 (2019), 71–86
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/crm697 https://www.mathnet.ru/rus/crm/v11/i1/p71
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 222 | PDF полного текста: | 79 | Список литературы: | 33 |
|