Анализ динамической системы «жертва – хищник – суперхищник»: семейство равновесий и его разрушение

В работе исследуется динамика конечномерной модели, описывающей взаимодействие трех популяций: жертвы $x(t)$, потребляющего ее хищника $y(t)$ и суперхищника $z(t)$, питающегося обоими видами. Математически задача записывается в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с правой частью $[x(1-x)-(y+z)g;$ $\eta_1yg-d_1f-\mu_1y;$ $\eta_2zg+d_2f-\mu_2z]$, где $\eta_j, d_j, \mu_j (j=1,2)$ — положительные коэффициенты. Рассматриваемая модель относится к классу кoсимметричных динамических систем при функциональном отклике Лотки – Вольтерры $g=x$, $f=yz$ и дополнительных условиях на параметры: $\mu_2=d_2(1+\frac{\mu_1}{d_1})$, $\eta_2=d_2(1+\frac{\eta_1}{d_1})$. В этом случае формируется семейство равновесий в виде прямой в фазовом пространстве. Проанализирована устойчивость равновесий семейства и изолированных равновесий, построены карты существования стационарных решений и предельных циклов. Изучено разрушение семейства при нарушении условий косимметрии и использовании моделей Хoллинга $g(x)=\frac{x}{1+b_1x}$ и Беддингтона–ДеАнгелиса $f(y,z)=\frac{yz}{1+b_2y+b_3z}$. Для этого применяется аппарат теории косимметрии В.И. Юдовича, включающий вычисление косимметрических дефектов и селективных функций. С использованием численного эксперимента проанализированы инвазивные сценарии: внедрение суперхищника в систему «хищник–жертва», выдавливание хищника или суперхищника.