Геометрический подход к доказательству биективности одного координатно-порогового отображения

Использование пороговых операций представляется перспективным направлением построения узлов переработки дискретной информации, ввиду потенциальной возможности реализации вычисления скалярного произведения непосредственно в среде-носителе сигнала, например, перспективных оптических вычислительных средах.
В статье анализируется представление в пороговом базисе биективных отображений двоичных векторов, обладающих простотой реализацией как исходного, так и обратного преобразования с помощью, так называемых, квазиадамаровых матриц $A_n$. В настоящее время эмпирически показана биективность таких отображений при $n = 4, 6, 8$, однако, не было дано соответствующих строгих доказательств. В данной работе приводится первое подобное доказательство, основанное на изучении геометрических свойств отображения, порожденного квазиадамаровой матрицей $A_4$.
В ходе доказательства установлено, что оно носит уникальный характер и возможно в предложенном виде лишь при $n = 4$. Вместе с доказательством важного прикладного утверждения о биективности отображения, заданного квазиадамаровой матрицей $A_4$, в статье выделены интересные особенности его геометрической интерпретации.