Об однозначной определенности областей в евклидовых пространствах

Статья посвящена двум новым направлениям в развитии классической геометрической тематики, связанной с исследованиями проблемы однозначной определенности замкнутых выпуклых поверхностей их внутренними метриками. Первое из направлений состоит в изучении проблемы однозначной определенности областей (т.е. открытых связных множеств) в евклидовых пространствах относительными метриками границ этих областей. Оно возникло около 25–30 лет тому назад и получило свое развитие благодаря усилиям российских ученых. В первой части статьи (в разделах 3–7) сделан обзор результатов, относящихся к этому направлению.
Основы второго направления мы излагаем впервые во второй части статьи, т.е. в разделе 8. Это направление тесно примыкает к первому и заключается в исследовании проблемы однозначной определенности конформного типа. Основной результат раздела представляет собой теорема об однозначной определенности ограниченных выпуклых многогранных областей относительными конформными модулями их граничных конденсаторов.