Гладкие решения некоторых дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа

Работа посвящена скалярному линейному дифференциально-разностному уравнению нейтрального типа
$$ dx(t)/dt+p(t)dx(t-1)/dt=a(t)x(t-1)+b(t)x(t)+f(t). $$
Исследуются вопросы существования и методы нахождения таких решений этого уравнения, которые имели бы необходимую гладкость на интервалах больше 1.
Рассматриваются две постановки задачи:
1) Нахождение такой начальной функции $g(t)$, заданной на начальном множестве $t\in[t_0-1,t_0]$, что для $t>t_0$ непрерывное решение $x(t)$, порождаемое $g(t)$, имело бы требуемую гладкость в точках, кратных запаздыванию. В качестве метода исследования применяется метод обратной начальной задачи.
2) Пусть $a(t)$, $b(t)$, $p(t)$ и $f(t)$ — полиномы некоторых степеней и пусть в начальной точке $t=0$ задано начальное значение $x(0)=x_0$. Функции $x(t)$ в виде полиномов различных степеней $N$, удовлетворяющие начальному условию, рассматриваются как квазирешения исходного уравнения. При подстановке функции $x(t)$ в исходное уравнение появляется невязка $\Delta(t)=O(t^N)$, для которой на основе метода полиномиальных квазирешений получены точные оценки. Поскольку полиномиальные квазирешения могут содержать свободные параметры, проблема минимизации невязки на некотором интервале изменения независимой переменной может быть рассмотрена на основе вариационных критериев.