Нелинейная и линейная устойчивость волн Роcсби–Гаурвица

Аналитически анализируется динамика возмущений волн Россби–Гаурвица (РГ-волн). Будучи весьма важными для метеорологии, эти волны являются точными решениями нелинейного уравнения вихря, описывающего движение идеальной несжимаемой жидкости на вращающейся сфере. Каждая РГ-волна принадлежит пространству $H_1\oplus H_n$, где $H_n$ есть подпространство однородных сферических полиномов степени $n$. Доказывается, что любое возмущение РГ-волны развивается таким образом, что его энергия $K(t)$ и энстрофия $\eta(t)$ убывают, остаются постоянными или возрастают одновременно. Дается геометрическое истолкование изменений возмущения энергии. Получен закон сохранения для произвольных возмущений. Этот закон используется для классификации возмущений РГ-волны. Согласно этой классификации, в зависимости от значения среднего спектрального числа $\chi(t)=\eta(t)/K(t)$, все возмущения разбиваются на четыре инвариантных множества: $M_-^n$, $M_+^n$, $H_n$ и $M_0^n-H_n$. В силу гиперболической зависимости $K(t)$ от $\chi(t)$, каскады энергии растущих (или убывающих) возмущений имеют противоположные направления в множествах $M_-^n$ и $M_+^n$. Вводятся нормированные фактор-пространства возмущений, в которых $H_n$ (инвариантное подпространство нейтральных возмущений) является нулевым фактор-классом. Если энергетическая норма управляет той частью возмущения, которая принадлежит $H_n$, то фактор-норма управляет той частью возмущения, которая ортогональна $H_n$. Доказывается, что в множестве $M_-^n$ ($\chi(t)<n(n+1)$) любая незональная РГ-волна подпространства $H_1\oplus H_n$ ($n\ge 2$) неустойчива по Ляпунову в энергетической норме. Эта неустойчивость, не имеющая ничего общего с орбитальной неустойчивостью (неустойчивостью по Пуанкаре), порождается асинхронными колебаниями двух почти совпадающих РГ-волновых решений. Доказывается также, что экспоненциальная неустойчивость возможна только в инвариантном множестве $M_0^n-H_n$. Дается необходимое условие указанной неустойчивости. Согласно этому условию, спектральное число $\chi(t)$ амплитуды любой неустойчивой моды должен быть равен $n(n+1)$, где $n$ есть степень РГ-волны. Оценивается скорость роста, в двух гильбертовых пространствах доказывается ортогональность неустойчивых нормальных мод РГ-волны. Вопрос о неустойчивости инвариантного множества $M_+^n$ мелкомасштабных возмущений ($\chi(t)>n(n+1)$) остается открытым.