Периодические меры Гиббса для НС-модели с двумя состояниями на дереве Кэли

В данной статье изучается Hard-Core (НС) модель с двумя состояниями и активностью $\lambda>0$ на дереве Кэли порядка $k\geq 2.$ Известно, что существуют $\lambda_{\rm cr},$ $\lambda^0_{\rm cr},$ $\lambda'_{\rm cr}$ такие, что

• при $\lambda\leq \lambda_{\rm cr}$ для этой модели существует единственная мера Гиббса $\mu^*,$ которая является трансляционно-инвариантной. Мера $\mu^*$ является крайней при $\lambda<\lambda^0_{\rm cr}$ и не крайней при $\lambda>\lambda'_{\rm cr};$
• при $\lambda>\lambda_{\rm cr}$ существуют ровно три $2$-периодические меры Гиббса, одна из которых является $\mu^*,$ две остальные являются не трансляционно-инвариантными и всегда крайними.

Крайность этих периодических мер была доказана с помощью максимальности и минимальности соответствующих решений некоторого уравнения, обеспечивающего согласованность этих мер. В данной работе мы дадим краткий обзор известных мер Гиббса для НС-модели и альтернативное доказательство крайности $2$-периодических мер при $k=2,3.$ Наше доказательство основано на методе реконструкции на дереве.