Статистическая эргодическая теорема в симметричных пространствах для бесконечных мер

Пусть $(\Omega, \mu)$  — измеримое пространство с $\sigma$-конечной непрерывной мерой, $\mu(\Omega)= \infty.$ Линейный оператор $T: L_1(\Omega)+ L_\infty(\Omega) \to L_1(\Omega)+ L_\infty(\Omega)$ называют оператором Данфорда—Шварца, если $\| T(f)\|_1\leqslant \| f\|_1$ (соответственно, $\|T(f)\|_{\infty}\leqslant \| f\|_{\infty}$) для всех $f\in L_1(\Omega)$ (соответственно, $f\in L_\infty(\Omega)$). Если $\{T_t\}_{t\geqslant 0}$  — сильно непрерывная в $L_1(\Omega)$ полугруппа операторов Данфорда—Шварца, то каждый оператор $A_t(f)=\dfrac1t\int\limits_0^tT_s(f)ds\in L_1(\Omega),$ $f\in L_1(\Omega) $ имеет единственное продолжение до оператора Данфорда—Шварца, которое также обозначается через $A_t,$ $t>0.$ Доказывается, что во вполне симметричном пространстве $E(\Omega)\nsubseteq L_1$ измеримых функций на $(\Omega, \mu)$ средние $A_t$ сильно сходятся при $t \to +\infty$ для каждой сильно непрерывной в $L_1(\Omega)$ полугруппы $\{T_t\}_{t\geqslant 0}$ операторов Данфорда—Шварца в том и только в том случае, когда норма $\|\cdot\|_{E(\Omega)}$ порядково непрерывна.