Усреднение параболических уравнений высокого порядка с периодическими коэффициентами

В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассматривается широкий класс матричных эллиптических операторов ${\mathcal A}_\varepsilon$ порядка $2p$ (где $p \geqslant 2$) с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами (зависящими от ${\mathbf x}/\varepsilon$). Здесь $\varepsilon >0$  — малый параметр. Изучается поведение операторной экспоненты $e^{- {\mathcal A}_\varepsilon \tau}$ при $\tau >0$ и малом $\varepsilon.$ Показано, что при $\varepsilon \to 0$ оператор $e^{- {\mathcal A}_\varepsilon \tau}$ сходится по операторной норме в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ к экспоненте $e^{- {\mathcal A}^0 \tau}$ от эффективного оператора ${\mathcal A}^0.$ Получена также аппроксимация операторной экспоненты $e^{- {\mathcal A}_\varepsilon \tau}$ по норме операторов, действующих из $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ в пространство Соболева $H^p(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n).$ Установлены оценки погрешностей найденных приближений, зависящие от двух параметров: $\varepsilon$ и $\tau.$ При фиксированном $\tau >0$ погрешности имеют точный порядок $O(\varepsilon).$ Результаты применяются к вопросу о поведении решения задачи Коши для параболического уравнения $\partial_\tau \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf{x},\tau) = -({\mathcal A}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon)(\mathbf{x},\tau) + \mathbf{F}(\mathbf{x}, \tau)$ в $\mathbb{R}^d.$