Асимптотический анализ краевых задач для оператора Лапласа с частой сменой типа граничных условий

Настоящая работа, которую уместно рассматривать как небольшую монографию, посвящена исследованию двух- и трехмерных краевых задач на собственные значения для оператора Лапласа с частым чередованием типа граничных условий. Основной целью является построение асимптотических разложений собственных значений и собственных функций рассматриваемых задач. Асимптотические разложения строятся на основе оригинальных комбинаций методов асимптотического анализа: метода согласования асимптотических разложений, метода пограничного слоя и метода многих масштабов. Проводится анализ коэффициентов формально построенных асимптотических рядов. Для строго периодического и локально периодического чередования краевых условий описанный подход позволяет строить полные асимптотические разложения собственных значений и собственных функций. В случае непериодического чередования и усредненного третьего краевого условия получены достаточно слабые условия на структуру чередования, при которых удается построить первые поправки в асимптотиках для собственных значений и собственных функций; указанные условия включают в рассмотрение широкий класс различных случаев непериодического чередования. При дальнейшем, весьма серьезном ослаблении условий на структуру чередования удается получить двусторонние оценки скорости сходимости собственных значений возмущенной задачи; показано, что эти оценки неулучшаемы по порядку. Для соответствующих собственных функций также получены неулучшаемые по порядку оценки скорости сходимости.