$L^2$-аппроксимации резольвенты эллиптического оператора в перфорированном пространстве

Изучается усреднение эллиптического дифференциального оператора $A_\varepsilon$ второго порядка, действующего в пространстве с $\varepsilon$-периодической перфорацией, $\varepsilon$ — малый параметр. Коэффициенты оператора $A_\varepsilon$ — измеримые $\varepsilon$-периодические функции. Интерес представляет и самый простой случай, когда коэффициенты оператора постоянны. Найдена аппроксимация резольвенты $(A_\varepsilon+1)^{-1}$ с остаточным членом порядка $\varepsilon^2$ при $\varepsilon\to 0$ в операторной $L^2$-норме по перфорированному пространству. Аппроксимация имеет вид суммы резольвенты усредненного оператора $(A_0+1)^{-1}$ и некоторого корректирующего оператора $\varepsilon \mathcal{C}_\varepsilon.$ Доказательство этого результата проведено модифицированным методом первого приближения с использованием сглаживания по Стеклову.