Симметричные пространства измеримых функций. Старые и новые достижения

Статья представляет собой обширный обзор по теории симметричных пространств измеримых функций. Он содержит ряд новых (недавних) и старых (известных) результатов в этой области. Для большинства результатов мы приводим их доказательства или точные ссылки, где они могут быть найдены. Рассматриваемые симметричные пространства являются банаховыми (или квазибанаховыми) пространствами измеримых функций, снабженными симметричными (перестановочно инвариантными) нормами (или квазинормами).
Мы рассматриваем симметричные пространства $\mathbf{E}=\mathbf{E}(\Omega,\mathcal{F}_\mu,\mu)\subset \mathbf{L}_0(\Omega,\mathcal{F}_\mu,\mu)$ на общих пространствах с мерой $(\Omega,\mathcal{F}_\mu,\mu),$ причем меры $\mu$ предполагаются конечными или бесконечными $\sigma$-конечными неатомическими, в то же время не предполагается, что пространство с мерой $(\Omega,\mathcal{F}_\mu,\mu)$ сепарабельно или является пространством Лебега.
В первом разделе обзора мы описываем основные классы и основные свойства симметричных пространств, рассматриваем минимальные, максимальные, ассоциированные пространства, свойства (А), (B), (C) и свойство Фату (F). Список конкретных симметричных пространств, которые мы используем, включает в себя пространства Орлича $\mathbf{L}_\Phi(\Omega,\mathcal{F}_\mu,\mu),$ Лоренца $\mathbf{\Lambda}_W(\Omega,\mathcal{F}_\mu,\mu),$ Марцинкевича $\mathbf{M}_V(\Omega,\mathcal{F}_\mu,\mu),$ Орлича—Лоренца $\mathbf{L}_{W,\Phi}(\Omega,\mathcal{F}_\mu,\mu)$ и, в частности, пространства $\mathbf{L}_p(w),$ $\mathbf{M}_p(w),$ $\mathbf{L}_{p,q}$ и $\mathbf{L}_\infty(U).$
Во втором разделе мы имеем дело с индексами растяжения (Бойда) симметричных пространств и некоторыми приложениями классического оператора $H$ Харди—Литтлвуда. Одна из основных проблем здесь заключается в следующем: когда $H$ действует как ограниченный оператор на заданном симметричном пространстве $\mathbf{E}(\Omega,\mathcal{F}_\mu,\mu)$? Особое внимание уделяется симметричным пространствам, которые обладают свойством Харди—Литтлвуда $(\mathcal{HLP})$ или слабым свойством Харди—Литтлвуда $(\mathcal{WHLP}).$
В третьем разделе мы рассматриваем некоторые теоремы интерполяции для пары пространств $({\mathbf{L}_1, \mathbf{L}_\infty}),$ включая классическую теорему Кальдерона—Митягина.
В качестве приложения общей теории в последнем разделе обзора мы доказываем эргодические теоремы для чезаровских средних положительных сжатий в симметричных пространствах. Изучая различные типы сходимости, мы делаем акцент на доминантной эргодической теореме ($\mathcal{DET}$), индивидуальной (поточечной) эргодической теореме ($\mathcal{IET}$), порядковой эргодической теореме ($\mathcal{OET}$) и статистической (mean) эргодической теореме ($\mathcal{MET}$).