О поведении при больших значениях времени решений параболических уравнений

В работе изучаются вопросы стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений второго порядка, связанные с поведением на бесконечности младших коэффициентов уравнений и с ростом начальных функций. Изучаются также вопросы стабилизации решения первой краевой задачи для параболического уравнения без младших коэффициентов в зависимости от области $Q$ задания начальной функции при $t=0.$
В первой главе изучены точные достаточные условия стабилизации к нулю равномерно по $x$ на компакте $K$ в $\mathbb{R}^N$ решения задачи Коши с дивергентным эллиптическим оператором и коэффициентами, не зависящими от $t$ и зависящими только от $x.$ Изучены классы начальных функций:

• ограниченных в $\mathbb{R}^N$,
• имеющих степенной рост на бесконечности в $\mathbb{R}^N$,
• имеющих экспоненциальный порядок роста на бесконечности.

\noindent На примерах показано, что достаточные условия являются точными и, кроме того, не допускают равномерной в $\mathbb{R}^N$ стабилизации к нулю решения задачи Коши.
Во второй главе изучается задача Коши с эллиптическим недивергентным оператором с коэффициентами, зависящими от $x$ и $t.$ Получены точные достаточные условия в различных классах растущих начальных функций, которые гарантируют стабилизацию решений соответствующей задачи Коши равномерно по $x$ на каждом компакте $K$ в $\mathbb{R}^N$. Приведены примеры, показывающие точность формулируемых условий.
В третьей главе получены необходимые и достаточные условия на область $\mathbb{R}^N \setminus Q,$ где $Q$ — область задания начальной функции при $t=0,$ при выполнении которых решение первой краевой задачи без младших членов стабилизируется к нулю равномерно по $x$ на любом компакте в $Q.$ Установлена степенная оценка скорости стабилизации решения краевой задачи с ограниченной начальной функцией, когда $\mathbb{R}^N \setminus Q$ при $t=0$ является конусом.