Оператор типа Кальдерона—Зигмунда и его связь с асимптотическими оценками для обыкновенных дифференциальных операторов

Изучается задача об оценке выражений вида $\Upsilon(\lambda)=\sup_{x\in[0,1]}\left|\int_0^xf(t)e^{i\lambda t}\,dt\right|$. В частности, для случая $f\in L_p[0,1]$, $p\in(1,2]$, доказана оценка $\|\Upsilon(\lambda)\|_{L_q(\mathbb R)}\le C\|f\|_{L_p}$ для любого $q>p'$, где $1/p+1/p'=1$. Такая же оценка получена для пространства $L_q(d\mu)$, где $d\mu$ – произвольная мера Карлесона в верхней полуплоскости $\mathbb C_+$. Кроме того, проведены оценки более сложных выражений типа $\Upsilon(\lambda)$, возникающих при изучении асимптотики фундаментальной системы решений систем вида $\mathbf y'=B\mathbf y+A(x)\mathbf y+C(x,\lambda)\mathbf y$ размера $n$ при $|\lambda|\to\infty$ в подходящих секторах комплексной плоскости.