Асимптотические свойства решений двумерных дифференциально-разностных эллиптических задач

В полуплоскости $\{-\infty<x<+\infty\}\times\{0<y<+\infty\}$ рассматривается задача Дирихле для дифференциально-разностных уравнений вида $u_{xx}+\sum_{k=1}^ma_ku_{xx}(x+h_k,y)+u_{yy}=0$, где количество нелокальных членов уравнения $m$ произвольно, а на их коэффициенты $a_1,\dots,a_m$ и параметры $h_1,\dots,h_m$, определяющие сдвиги независимой переменной $x$, не накладывается никаких условий соизмеримости. Единственное условие, накладываемое на коэффициенты и параметры изучаемого уравнения – отрицательность вещественной части символа оператора, действующего по переменной $x$.
Ранее было доказано, что при выполнении указанного условия (т.е. условия сильной эллиптичности соответствующего дифференциально-разностного оператора) рассматриваемая задача разрешима в смысле обобщенных функций (по Гельфанду–Шилову), построено интегральное представление решения формулой пуассоновского типа, установлена гладкость этого решения вне граничной прямой.
В настоящей работе исследуется поведение указанного решения при $y\to+\infty$. Доказывается теорема об асимптотической близости исследуемого решения и решения классической задачи Дирихле для дифференциального эллиптического уравнения (с той же самой граничной функцией, что и в исходной нелокальной задаче), определяемого следующим образом: в исходном дифференциально-разностном эллиптическом уравнении все параметры $h_1,\dots,h_m$ полагаются равными нулю. Как следствие, устанавливается, что для исследуемых решений справедлив классический критерий стабилизации Репникова–Эйдельмана: решение стабилизируется при $y\to+\infty$ тогда и только тогда, когда среднее значение граничной функции на интервале $(-R,+R)$ имеет предел при $R\to+\infty$.