Базисность Рисса со скобками для системы Дирака с суммируемым потенциалом

В работе изучается оператор Дирака $\mathcal L_{P,U},$ порожденный в пространстве $\mathbb H=(L_2[0,\pi])^2$ дифференциальным выражением
\begin{gather*} \ell_P(\mathbf y)=B\mathbf y'+P\mathbf y,\qquad\text{где}\\ B=\begin{pmatrix} -i&0\\ 0&i \end{pmatrix}, \qquad P(x)= \begin{pmatrix} p_1(x)& p_2(x)\\ p_3(x)& p_4(x) \end{pmatrix}, \qquad \mathbf y(x)= \begin{pmatrix} y_1(x)\\ y_2(x) \end{pmatrix}, \end{gather*}
и регулярными краевыми условиями
$$ U(\mathbf y)= \begin{pmatrix} u_{11}& u_{12}\\ u_{21}& u_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1(0)\\ y_2(0) \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} u_{13}& u_{14}\\ u_{23}& u_{24} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1(\pi)\\ y_2(\pi) \end{pmatrix}=0. $$
Элементы матрицы $P$ предполагаются суммируемыми на $[0,\pi]$ комплекснозначными функциями. Мы покажем, что оператор $\mathcal L_{P,U}$ имеет дискретный спектр, состоящий из собственных значений $\{\lambda_n\}_{n\in\mathbb Z},$ причем $\lambda_n=\lambda_n^0+o(1)$ при $|n|\to\infty$, где $\{\lambda_n^0\}_{n\in\mathbb Z}$ – спектр оператора $\mathcal L_{0,U}$ с нулевым потенциалом и теми же краевыми условиями. Если краевые условия сильно регулярны, то спектр оператора $\mathcal L_{P,U}$ является асимптотически простым. Мы покажем, что в этом случае система собственных и присоединенных функций оператора $\mathcal L_{P,U}$ образует базис Рисса в пространстве $\mathbb H$ (при условии нормировки собственных функций). В случае регулярных, но не сильно регулярных краевых условий все собственные значения оператора $\mathcal L_{0,U}$ двукратны, а собственные значения оператора $\mathcal L_{P,U}$ асимптотически двукратны. В этом случае мы покажем, что система, составленная из соответствующих двумерных корневых подпространств оператора $\mathcal L_{P,U},$ образует базис Рисса из подпространств (базис Рисса со скобками) в пространстве $\mathbb H$.