Обратные задачи в теории сингулярных возмущений

Первая часть статьи посвящена совместной работе с Сигруном Бодином (США). Рассматривается дифференциальное уравнение второго порядка $\varepsilon^2y''=(1+\varepsilon^2\psi(x,\varepsilon))y$ с малым параметром $\varepsilon$, где $\psi$ аналитическая и четная относительно $\varepsilon$ функция. Хорошо известно, что данное уравнение имеет два формальных решения $y^\pm(x,\varepsilon)=e^{\pm x/\varepsilon}h^\pm(x,\varepsilon)$, где $h^\pm(x,\varepsilon)$ – формальный ряд по степеням $\varepsilon$, коэффициенты которого являются функциями переменной $x$.
Показано, что одно (соответственно оба) из этих решений 1-суммируемо в некоторых направлениях, если $\psi$ удовлетворяет определенным условиям, в частности относительно области определения по переменной $x$. Мы покажем, что эти условия существенно необходимы для 1-суммируемости одного (соответственно обоих) из указанных формальных решений. При доказательстве решается обратная задача, а именно строится дифференциальное уравнение, в котором имеет место некоторое явление Стокса.
Вторая часть статьи посвящена совместной работе с Августином Фрушаром (Франция), связанной с обратными задачами для общих (аналитических) линейных уравнений $\varepsilon^ry'=A(x,\varepsilon)y$ в окрестности точки, не являющейся точкой поворота, и для (аналитических) уравнений второго порядка $\varepsilon y''-2xy'-g(x,\varepsilon)y=0$, соответствующих резонансу в смысле Аккерберга–О'Маллея, т.е. удовлетворяющих условию Матковского: существует нетривиальное формальное решение $\hat y(x,\varepsilon)=\sum y_n(x)\varepsilon^n$, коэффициенты которого не имеют полюсов в точке $x=0$.