Некоммутативная геометрия и классификация эллиптических операторов

Одной из важных задач эллиптической теории является вычисление стабильной гомотопической классификации эллиптических операторов. Классическое решение этой задачи, данное для случая гладких компактных многообразий Атьей и Зингером, формулируется в терминах $K$-теории кокасательного расслоения заданного многообразия и не переносится непосредственно на случай негладких многообразий, где кокасательное расслоение уже не содержит всей необходимой информации. Подходящей кандидатурой для обобщения на эту ситуацию является также принадлежащая Атье формулировка в терминах $K$-гомологий самого многообразия, основанная на концепции абстрактных эллиптических операторов. И действительно, в последнее время появились обобщения этой теоремы на многообразия с коническими особенностями, с ребрами, а затем и на общие т.н. стратифицированные многообразия, формулировки которых отличаются от гладкого случая лишь заменой слов “гладкое многообразие” на “стратифицированное многообразие” (соответствующего класса). Таким образом, стратифицированные многообразия представляют собой в некотором смысле удивительное явление: хотя алгебра символов (псевдо)дифференциальных операторов на таких многообразиях весьма некоммутативна (компоненты символа, отвечающие стратам положительной коразмерности, суть операторнозначные функции), ответ в задаче классификации удается сформулировать в чисто геометрических терминах. Это, вообще говоря, не так для других классов негладких многообразий. В частности, для многообразий с углами недавно полученная авторами теорема показывает, что в этом случае классификация дается $K$-группой некоммутативной $C^*$-алгебры и не может быть сведена к коммутативной алгебре, если нормальные расслоения граней рассматриваемого многообразия нетривиальны. Отметим, что, несмотря на “классичность” результата, уже в случае стратифицированных многообразий доказательства опираются на некоммутативную геометрию (более подробно, на $K$-теорию $C^*$-алгебр). В статье дается обзор упомянутых выше результатов о классификации эллиптических операторов на многообразиях с особенностями и соответствующих методов некоммутативной геометрии, в частности, принципа локализации в $C^*$-алгебрах.