Представления алгебры $sl_2(\mathbb R)$ и обыкновенные дифференциальные уравнения

Найдены все неэквивалентные представления алгебры $sl_2(\mathbb{R})$ в пространстве векторных полей $\mathrm{Vect}\, \mathbb{R}^{2}$. Для каждого из найденных представлений описаны все обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие данные представления, в терминах базиса дифференциальных инвариантов и операторов инвариантного дифференцирования. Также найдены операторы Казимира соответствующей универсальной обёртывающей алгебры, проинтегрированы уравнения, порождённые оператором Казимира, и доказана алгебраическая независимость операторов инвариантного дифференцирования и оператора Казимира.