Fractional powers of Bessel operator and its numerical calculation

Рассматриваются дробные степени оператора Бесселя и их численная реализация. Обширная литература посвящена изучению дробных степеней оператора Лапласа и их приложениям. Такие степени используются при конструировании функциональных пространств, при естественном обобщении уравнения Шрёдингера в квантовой теории, при построении моделей распространения акустических волн в сложных средах (например, биологических тканях) и пространственно-временных моделей аномальной (очень медленной или очень быстрой) диффузии, в спектральной теории и др. Если предположить радиальность функции, на которую действует оператор Лапласа, то мы придём к задаче о построении дробной степени оператора Бесселя. Мы предлагаем использовать композиционный метод построения указанных операторов, что приводит к конструкциям, близким по своим свойствам к риссовым производным. В качестве базового интегрального преобразования рассматривается преобразование Ханкеля. На его основе композиционным методом, предложенным В. В. Катраховым и С. М. Ситником, строятся отрицательные степени оператора Бесселя. Полученный оператор содержит в ядре гипергеометрическую функцию Гаусса. Для дальнейшего изучения в статье приводится оператор обобщённого сдвига, доказываются его свойства. Известными способами достигается регуляризация интеграла при построении положительной дробной степени оператора Бесселя. Затем предлагается схема численного вычисления дробных степеней оператора Бесселя, основанная на полученной Б. М. Левитаном формуле Тейлора — Дельсарта. Приводятся примеры, содержащие точное и приближённое значения положительной и отрицательной степеней оператора Бесселя, абсолютную погрешность и иллюстрации. В списке литературы приводятся источники, в которых содержатся известные результаты о дробных степенях операторов рассматриваемого в статье типа, а также содержащие их приложения.