Пример неоднозначности разложения трёхмерного геометрического объекта

В 1942 г. М. Х. А. Ньюман сформулировал и доказал несложную лемму, которая оказалась весьма полезной в различных областях математики, в частности, в алгебре и теории базисов Грёбнера — Ширшова. Позднее её стали называть леммой о диаманте, поскольку её ключевая конструкция графически изображается в виде ромба (символа диаманта). В 2005 г. автор настоящей статьи предложил новый вариант этой леммы, предназначенный для решения геометрических проблем и доказал теоремы существования и единственности примарных разложений различных геометрических объектов: трёхмерных многообразий, узлов в утолщённых поверхностях, заузленных графов, заузленных тета-кривых в трёхмерных многообразиях. Оказалось, что все геометрические объекты упомянутых типов допускают примарные разложения, но в ряде случаев (например, для орбифолдов) единственности разложения нет. В настоящей статье приводится этот новый вариант леммы, схематично даётся алгоритм её применения, предлагается теорема, которая использует для доказательства лемму о диаманте, и контрпример, показывающий невозможность опустить одно из условий теоремы.