О коэрцитивной разрешимости нелинейного уравнения Лапласа–Бельтрами в гильбертовом пространстве

Проблема разделимости дифференциальных операторов впервые рассмотрена в работах В. Н. Эверитта и М. Гирца. Дальнейшее развитие этой теории принадлежит К. Х. Бойматову, М.Отелбаеву и их ученикам. Основная часть опубликованных работ по этой теории относится к линейным операторам. Нелинейный случай рассматривался в случае слабого возмущения линейного оператора. Случай, когда исследуемый оператор не является слабым возмущением линейного оператора, рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах. Полученные результаты в данной работе также относятся к этому малоизученному случаю. В работе исследованы коэрцитивные свойства нелинейного оператора Лапласа–Бельтрами в гильбертовом пространстве $L_2(R^n)$
$$ L[u]=-\frac{1}{\sqrt{det\, g(x)}}\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\sqrt{det\, g(x)}g^{-1}(x)\frac{\partial u}{\partial x_j}\right]+V(x,u)u(x), $$
и на основе коэрцитивных оценок доказана его разделимость в этом пространстве. Исследуемый оператор не является слабым возмущением линейного оператора, т.е. является строго нелинейным. На основе полученных коэрцитивных оценок и разделимости изучалась разрешимость нелинейного уравнения Лапласа–Бельтрами в пространстве $L_2(R^n)$.