Новые границы алгебраической константы Никольского

Пусть $M_{n}=\sup_{P\in \mathcal{P}_{n}\setminus \{0\}} \frac{\max_{x\in [-1,1]}|P(x)|}{\int_{-1}^{1}|P(x)| dx}$ — константа Никольского между равномерной и интегральной нормами для алгебраических полиномов с комплексными коэффициентами степени не выше $n$. D. Amir и Z. Ziegler (1976) доказали, что $0.125(n+1)^{2}\le M_{n}\le 0.5(n+1)^{2}$ для $n\ge 0$. Аналогичная оценка сверху получена T.K. Ho (1976). F. Dai, D. Gorbachev и S. Tikhonov (2019–2020) уточнили этот результат, установив, что $M_{n}=Mn^{2}+o(n^{2})$ при $n\to \infty$, где $M\in (0.141,0.192)$ — точная константа Никольского для целых функций экспоненциального сферического типа в пространстве $L^{1}(\mathbb{R}^{2})$ и функций экспоненциального типа в $L^{1}(\mathbb{R})$ с весом $|x|$.
Мы доказываем, что для произвольного $n\ge 0$ имеем $M(n+1)^{2}\le M_{n}\le M(n+2)^{2}$, где $M\in (0.1410,0.1411)$. Данное утверждение также позволяет уточнить точную константу Джексона–Никольского для полиномов на евклидовой сфере $\mathbb{S}^{2}$. Доказательство базируется на взаимосвязи алгебраических констант Никольского с тригонометрическими константами Бернштейна–Никольского и наших результатах об оценках последних (2018–2019). Также мы применяем характеризацию экстремального алгебраического полинома, полученную D. Amir и Z. Ziegler (1976), В.В. Арестовым и М.В. Дейкаловой (2015). С помощью этой характеризации мы составляем тригонометрическую систему для определения нулей экстремального полинома, которую решаем приближенно с необходимой точностью с помощью метода Ньютона.