Асимптотическая оценка для тригонометрических сумм алгебраических сеток

В работе продолжены исследования авторов по оценке тригонометрических сумм алгебраической сетки с весами с произвольной весовой функцией $r+1$ порядка.
Для параметра $\vec{m}$ тригонометрической суммы $S_{M(t),\vec\rho}(\vec m)$ выделены три случая.
Если $\vec{m}$ принадлежит алгебраической решётке $\Lambda(t\cdot T(\vec a))$, то справедлива асимптотическая формула
$$ S_{M(t),\vec\rho}(t(m,\ldots,m))=1+O\left(\frac{\ln^{s-1}\det \Lambda(t)}{ (\det\Lambda(t))^{r+1}}\right). $$

Если $\vec{m}$ не принадлежит алгебраической решётке $\Lambda(t\cdot T(\vec a))$, то определены два вектора $\vec{n}_\Lambda(\vec{m})=(n_1,\ldots,n_s)$ и $\vec{k}_\Lambda(\vec{m})$ из условий $\vec{k}_\Lambda(\vec{m})\in\Lambda$, $\vec{m}=\vec{n}_\Lambda(\vec{m})+\vec{k}_\Lambda(\vec{m})$ и произведение $q(\vec{n}_\Lambda(\vec{m}))=\overline{n_1}\cdot\ldots\cdot\overline{n_s}$ минимально. Доказана асимптотическая оценка
$$ |S_{M(t),\vec\rho}(\vec{m})|\le B_r\left(\frac{1-\delta(\vec{k}_\Lambda(\vec{m}))}{(q(\vec{n}_\Lambda(\vec{m})))^{r+1}}+O\left(\frac{q(\vec{n}_\Lambda(\vec{m}))^{r+1}\ln^{s-1}\det \Lambda(t)}{ (\det\Lambda(t))^{r+1}}\right)\right). $$