О среднем значении функций, родственных функции делителей, в кольце многочленов над конечным полем

Пусть $\mathbb{F}_q[T]$ — кольцо многочленов над конечным полем $\mathbb{F}_q$. Далее, пусть $ g :\mathbb{F}_q[T]\rightarrow \mathbb{R}$ — мультипликативная функция, значения которой на степенях неприводимого многочлена зависят лишь от показателя степени, то есть $g(P^k)=d_k$ для любого неприводимого многочлена $P$ и некоторой фиксированной последовательности вещественных чисел $\{d_k\}_{k=1}^{\infty}$. В работе исследуется сумма
$$T(N)=T(N;g)=\sum\limits_{\deg F=N}{g(F)},$$
где $F$ пробегает многочлены степени $N$ со старшим коэффициентом, равным $1$ (унитарные многочлены). Для суммы $T(N)$ находится точная формула, а также вычисляется асимптотика при $q\to\infty$ и $N$ фиксированном; при $N\to\infty$ и $ q\to\infty$; при $\ q^N\to\infty$. В частности, доказаны следующие асимптотические формулы:
$$\sum\limits_{\substack{\deg F=N \\ F \text{ унитарен}}}\tau(F^k)=\binom{k+N}{N}q^N+O_{N,k}\left(q^{N-1}\right),\ \ N\ge 1,\ q\to\infty; $$

$$ \sum\limits_{\substack{\deg F=N \\ F \text{ унитарен}}}\dfrac{1}{\tau(F)}=\dfrac{q^N}{4^N}\left(\binom{2N}{N}-\dfrac{2}{3}\binom{2N-4}{N-2}q^{-1}+O\left(\ \dfrac{4^N}{\sqrt{N}}q^{-2}\right)\right),\ N\to\infty,\ q\to\infty; $$

$$\sum\limits_{\substack{\deg F=N \\ F \text{ унитарен}}}\dfrac{1}{\tau(F)}=C_1\cdot\dfrac{\binom{2N}{N}}{4^N}q^N+O\left(\dfrac{q^{N-0.5}}{N^{1.5}}\right),\ \ C_1=\prod_{l=1}^{+\infty}\left(\sqrt{q^{2l}-q^{l}}\ln\dfrac{q^l}{q^l-1}\right)^{\pi_q(l)},\ q^N\to\infty;$$
где $\tau(F)$ — число унитарных многочленов, делящих $F$, и $\pi_q(l)$ — число неприводимых унитарных многочленов степени $l$. Последние две формулы представляют собой аналог для многочленов над конечным полем одного результата Рамануджана
$$\sum_{n\leq x}{\dfrac{1}{d(n)}}=\dfrac{x}{\sqrt{\ln x}}\left(a_0+\dfrac{a_1}{\ln{x}}+\ldots+\dfrac{a_N}{(\ln{x})^N}+O_N\left(\dfrac{1}{(\ln{x})^{N+1}}\right)\right),$$
где $d(n)$ — классическая функция делителей, $a_i$ — константы, в частности
$$a_0=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\prod\limits_{p}\ln\dfrac{p}{p-1}\sqrt{p(p-1)}.$$