Завершение доказательства теоремы Брунна элементарными средствами

Брунн в 1887 году сформулировал теорему о трёх параллельных сечениях выпуклого тела с одинаковыми по площади крайними сечениями, но не получающимися друг из друга параллельным сдвигом, утверждающую, что площадь среднего сечения строго больше, а корректно доказал, как заметил Минковский, что только не меньше. Исключение равенства, считавшегося до сих пор наиболее трудным в теореме, доказывается вплоть до настоящего времени многими авторами, привлекая серьёзную математику. В статье предлагается принципиально иной геометрический подход к доказательству теоремы, благодаря чему для корректного завершения исходного доказательства Брунна можно ограничиться элементарными средствами, доступными школьникам, минуя трудности с равенством, причём предлагаемые рассуждения распространяются на все размерности, как и сама теорема, на что указывал Брунн. Пусть, в общем случае, $V_n(Q)$ – $n$-мерный объём тела $Q\subset\mathbb{R}^n$, $L_0, L_1$ – параллельные гиперплоскости в $\mathbb{R}^{n+1}$, содержащие соответственно выпуклые тела $P_0, P_1$, а $L$ – паралельная им гиперплоскость, находящаяся строго между ними, и $P$ – пересечение $L$ с выпуклой оболочкой объединения $P_0\cup P_1$. Теорема Брунна утверждает, что если $P_1$ не получается из $P_0$ параллельным переносом и $V_n(P_1)=V_n(P_0)=v>0$, то $V_n(P)>v$. В 1887 году Брунн строго доказал, что $V_n(P)\geqslant v$, используя эффективный приём одновременного одинакового деления объёмов $P_0, P_1$ гиперплоскостью в $\mathbb{R}^{n+1}$. В предлагаемой статье это называется рассечением Брунна. Для строго неравенства $V_n(P)>v$ оставалось небольшим "шевелением" перейти от тела $P_1$ к другому выпуклому телу $\widetilde{P}_1$, $V_n(\widetilde{P}_1)=v$, так, что $V_n(P)>V_n(\widetilde{P})$, где $\widetilde{P}$ – новое сечение в гиперплоскости $L$, возникающее после замены $P_1$ на $\widetilde{P}_1$. Поскольку $V_n(\widetilde{P})\geqslant v$, то $V_n(P)>v$. Проще всего такая замена $P_1$ на $\widetilde{P}_1$ осуществляется в случае выпуклых многогранников $P_0$, которыми можно приближать выпуклые тела сколь угодно близко. Совсем просто требуемая замена $P_1$ на $\widetilde{P}_1$ осуществляется, когда в качестве $P_0$ выступают $n$-мерные симплексы, на которые выпуклый многогранник может разбиваться рассечениями Брунна. До настоящего времени не предлагался очерченный выше достаточно наивный естественный геометрический способ доказательства строгого неравенства $V_n(P)>v$ как бы в лоб может из-за того, что изначально теорема формулировалась не для выпуклых многогранников $P_0, P_1$, а для произвольных выпуклых тел. Главная же причина, по мнению автора, заключается в алгебраическом представлении $P=(1-t)P_0+tP_1$, где $t$ – отношение расстояния от $L_0$ до $L$ к расстоянию от $L_0$ до $L_1$, $0<t<1$. Это приводит к соблазну переходить в доказательствах теоремы от $\mathbb{R}^{n+1}$ к $\mathbb{R}^n$ и использовать эквивалентную формулировку теоремы, считая $L_0=L_1=\mathbb{R}^n$. В результате от ситуации общего положения, когда $L_0\neq L_1$, перешли в особенность $L_0=L_1$, в условиях которой существенно уменьшаются возможности для привлечения геометрической интуиции и, как следствие, уменьшаются возможности для более простых наглядных геометрических обоснований неравенства $V_n(P)>v$. Настоящей статьёй показывается, что при доказательстве теоремы в эквивалентной формулировке следует, напротив, пространство $\mathbb{R}^n$ включать в $\mathbb{R}^{n+1}$ и использовать изначальную формулировку теоремы, когда основным инструментом доказательства элементарными средствами становится рассечение Брунна. Справедливости ради следует отметить, что многочисленные приложения настоящей теоремы, полученные Минковским и другими авторами, связаны как раз c её эквивалентной формулировкой, со смешанными объёмами, с алгебраическими представлениями $P=(1-t)P_0+tP_1$, называемыми суммами Минковского.