О семействах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел, якобианы которых содержат точки кручения данных порядков

Одной из актуальных современных проблем алгебры и теории чисел является проблема существования и поиска фундаментальных $S$-единиц в гиперэллиптических полях. Проблема существования и поиска $S$-единиц в гиперэллиптических полях эквивалентна разрешимости норменного уравнения — функционального уравнения Пелля — с некоторыми дополнительными условиями на вид этого уравнения и его решения. Существует глубокая связь между точками конечного порядка в якобиевом многообразии (якобиане) гиперэллиптической кривой и нетривиальными $S$-единицами соответствующего гиперэллиптического поля. Эта связь легла в основу предложенного В. П. Платоновым алгебраического подхода к известной фундаментальной проблеме об ограниченности кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых. Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел проблема кручения была решена Мазуром в 1970-ых годах. Для кривых рода 2 и выше над полем рациональных чисел проблема кручения оказалась значительно сложнее, и пока далека от своего полного решения. Основные результаты, полученные к настоящему времени в этом направлении, относятся к описанию подгрупп кручения якобиевых многообразий конкретных гиперэллиптических кривых, а также к описанию некоторых семейств гиперэллиптических кривых рода $g \ge 2$.
В данной статье нами найден новый метод исследования разрешимости функциональных норменных уравнений, дающий полное описание гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел, якобиевы многообразия которых обладают точками кручения данных порядков. Наш метод основан на аналитическом изучении представителей дивизоров конечного порядка в группе классов дивизоров степени ноль и их представлений Мамфорда. В качестве иллюстрации работы нашего метода в данной статье непосредственно найдены все параметрические семейства гиперэллиптических кривых рода два над полем рациональных чисел, якобиевы многообразия которых обладают рациональными точками кручения порядков не превосходящих пяти. Более того, наш метод позволяет определить, какому найденному параметрическому семейству принадлежит данная кривая, якобиан которой обладает точкой кручения порядка, не превосходящего пяти.