|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)
Kloosterman sums with primes and the solvability of one congruence with inverse residues — II
[Суммы Клоостермана по простым числам и разрешимость одного сравнения с обратными вычетами — II]
M. A. Korolev Steklov Mathematical Institute of RAS (Moscow)
Аннотация:
В настоящей статье продолжены исследования, связанные с распределением обратных вычетов по заданному модулю. Ранее автором был получен ряд нетривиальных оценок коротких сумм Клоостермана с простыми числами, отвечающих произвольному модулю $q$. Следствием таких оценок стали результаты о распределении вычетов $\overline{p}$, обратных простым числам “короткого” промежутка: $p\overline{p}\equiv 1\pmod{q}$, $1<p\leqslant N$, $N\leqslant q^{1-\delta}$, $\delta>0$, и, более общо, о распределении по модулю $q$ величин $g(p) = a\overline{p}+bp$, где $a,b$ – целые числа, $(ab,q)=1$.
Еще одно приложение найденных оценок связано с задачей о представимости произвольного заданного вычета $m\pmod{q}$ суммою $g(p_{1})+\ldots+g(p_{k})$ при фиксированных $a,b$ и $k\geqslant 3$, и простых $1<p_{1},\ldots,p_{k}\leqslant N$. Для количества таких представлений автором была найдена формула, поведение предполагаемого главного члена которой определяется аналогом “сингулярного ряда” классического кругового метода, т.е. некоторой величиной $\kappa$, зависящей от $q$ и набора $k,a,b,m$. При фиксированных $k,a,b,m$ она является мультипликативной функцией $q$. В случае, когда модуль $q$ не делится на 2 или 3, эта величина строго положительна, так что формула для искомого числа представлений является асимптотической.
В настоящей работе исследуется поведение $\kappa$ в случае, когда $q = 3^{n}$. Оказывается, что при любых $n\geqslant 1$, $k\geqslant 3$ существуют “исключительные” тройки $a,b,m$, для которых $\kappa = 0$. Цель работы состоит в описании всех таких троек и нижней оценки величины $\kappa$ для “неисключительных” троек.
Ключевые слова:
сравнения, разрешимость, обратные вычеты, суммы Клоостермана, простые числа, сингулярный ряд.
Образец цитирования:
M. A. Korolev, “Kloosterman sums with primes and the solvability of one congruence with inverse residues — II”, Чебышевский сб., 21:1 (2020), 221–232
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/cheb869 https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v21/i1/p221
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 152 | PDF полного текста: | 47 | Список литературы: | 22 |
|