О специальных свойствах некоторых квазиметрик

В статье рассмотрены свойства квазиметрики среднего времени первого прохода — обобщенной метрической структуры, тесно связанной с эргодическими однородными цепями Маркова.
Во введении представлена история вопроса, дан обзор основных идей и результатов работы.
В первом разделе собраны основные понятия теории цепей Маркова — последовательностей случайных событий с конечным или счетным числом исходов, характеризующихся тем, что, говоря нестрого, при фиксированном настоящем будущее независимо от прошлого. Точнее, математическая модель некоторого случайного процесса представляет собой марковскую цепь, если распределение вероятностей параметров процесса в следующий момент времени зависит только от параметров процесса в предыдущий момент.
Во втором разделе собраны базовые определения, необходимые для рассмотрения роли графовых моделей в представлении и исследовании эргодических однородных цепей Маркова. Марковская цепь может быть изображена в виде ориентированного взвешенного графа переходов, вершины которого соответствуют состояниям цепи, а дуги — переходам между ними. Процесс будет эргодическим, если построенный взвешенный орграф является слабо связным, и наибольший общий делитель длин всех его циклов равен единице. С другой стороны, любой связный граф может служить базой для построения модели простейшей цепи Маркова: если вершина $i$ имеет степень $k$, то все выходящие из нее ребра превращаются в дуги с весами $\frac{1}{k}$.
В третьем разделе дано определение среднего времени первого прохода для однородной эргодической цепи Маркова. Представлены несколько способов построения соответствующей матрицы $M$. Подробно проанализирован алгоритм нахождения среднего времени первого прохода с помощью использования сходящихся деревьев ориентированного графа, связанного с матрицей перехода эргодической однородной цепи Маркова. Описана родственная рекуррентная процедура.
В четвертом разделе матрица среднего времени первого прохода рассмотрена как квазиметрика $m$ среднего времени первого прохода на множестве вершин $V=\{1, 2, ..., n\}$ ориентированного графа, соответствующего матрице перехода эргодической однородной цепи Маркова: $m(i,j)$ — ожидаемое количество шагов (дуг) для случайного блуждания на орграфе $\Gamma$, начинающегося с $i$, для достижения $j$ в первый раз. Эта квазиметрика обладает рядом важных теоретических и прикладных свойств. В частности, квазиметрика среднего времени первого прохода для простого случайного блуждания по связному невзвешенному графу $G$, в котором из любой вершины графа существует равная вероятность перемещения в любую соседнюю вершину, является взвешиваемой квазиметрикой, т.е. существует весовая функция $w: V\rightarrow\mathbb{R}_{\ge 0}$, такая, что для всех $i,j\in V$ имеет место сотношение $ m(i,j)+w_i= m(j,i)+w_j. $ Менее изучены, но не менее интересны связи квазиметрики среднего времени первого прохода с другими метрическими структурами на графах, в частности, с $\alpha$-метрикой леса и ее вариациями.
Наконец, в пятом разделе рассмотрены примеры построения и исследования квазиметрики среднего времени первого прохода. Помимо иллюстрации "графовой" процедуры построения матрицы $M$, представлены рекуррентные алгоритмы исследования и проанализированы получающиеся при этом обобщенные метрические структуры.