Некоторые вопросы аппроксимации периодических функций тригонометрическими полиномами в $L_2$

Статья состоит из двух частей. В первой части излагается обзор результатов о наилучшего приближения периодических дифференцируемый функций тригонометрическими полиномами в гильбертовом пространстве $L_{2}:=L_{2}[0,2\pi]$. Приведены точные неравенства между величиною наилучшем приближении функции и усредненными с заданным весом значениями модулей непрерывности $m$-го порядка $r$-той производной функции, а также их аналоги для некоторых модификаций модуля непрерывности $m$-го порядка.
Во второй части статьи приведены некоторые новые точные неравенства типа Джексона-Стечкина для характеристики гладкости, введенной К. В. Руновским [2] и более подробно изученной С. Б. Вакарчуком и В. И. Забутной [14]. Получен точный результат об одновременном приближении функции и ее последовательных производных для некоторых классов функций, задаваемых указанной характеристикой гладкости.