О нулях функции Харди и её производных, лежащих на критической прямой

Функция Харди $Z(t)$ принимает вещественные значения при вещественных значениях $t$, и вещественные нули $ Z(t)$ являются нулями $ \zeta(s)$, лежащими на критической прямой.
Первым результатом о нулях дзета-функции Римана $\zeta(s)$ на критической прямой является теорема Г. Харди. В 1914 г. он доказал, что $\zeta(1/2+it)$ имеет бесконечно много вещественных нулей. Затем Харди и Литтлвуд в 1921 г. доказали, что промежуток $(T, T+H)$ при $H\ge T^{1/4+\varepsilon}$ содержит нуль нечётного порядка $\zeta(1/2+it)$. Ян Мозер в 1976 г. доказал, что это утверждение имеет место при $H\ge T^{1/6}\ln^2T$. В 1981 г. А.А. Карацуба доказал теорему Харди–Литллвуда уже при $H\ge T^{5/32}\ln^2T$.
В 2006 г. З.Х.Рахмонов, Ш.А.Хайруллоев задачу о величине промежутка $(T, T+H)$ критической прямой, в которой содержится нуль нечётного порядка дзета-функции, свели к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальных тригонометрических сумм.
В 2009 г. З.Х.Рахмонов, Ш.А.Хайруллоев нашли нижнюю грань величины $\theta _1 (k, l)$ по $\mathcal{P}$ — множеству всех экспоненциальных пар $(k,l)$, отличных от $(1/2, 1/2)$ и имеющих вид
$$ \mathop {\inf }\limits_{(k,l) \in \mathcal{P} } \theta _1 (k;l) = R + 1, $$
где $R = 0.8290213568591335924092397772831120\ldots $ – постоянная Ранкина.
В 1981 г. А.А.Карацуба вместе с задачей о соседних нулях функции $Z(t)$ также изучил задачу о соседних точках экстремума или точках перегиба функции $Z(t)$ или в более общей подстановке – о соседних нулях функции $Z^{(j)}(t)$, $j\ge 1$. Он показал, что с увеличением $j$ длина промежутка, на котором заведомо лежит нуль $Z^{(j)}(t)$, уменьшается.
Основным результатом этой работы является сведение задачи о величине промежутка $(T, T+H)$ критической прямой, в которой заведомо лежит нуль нечётного порядка функции $Z^{(j)}(t)$ $(j\geq 1)$, к проблеме отыскания экспоненциальных пар для оценки специальной тригонометрической суммы и уточнение теоремы А.А. Карацубы при $j=1$.