|
Нули функции Дэвенпорта–Хейлбронна в коротких промежутках критической прямой
З. Х. Рахмоновa, Ш. А. Хайруллоевb, А. С. Аминовa a Институт математики им. А. Джураева АН Республики Таджикистан, г. Душанбе
b Таджикский национальный университет, г. Душанбе
Аннотация:
Дэвенпорт и Хейльбронн ввели функцию $f(s)$ и показали, что $f(s)$ удовлетворяет функциональному уравнению римановского типа, однако для $f(s)$ гипотеза Римана не выполняется, и более того, число нулей $f(s)$ в области $Re s>1$, $0<Im s\leq T$ превосходит $cT$, $c>0$ — абсолютная постоянная. С.М. Воронин доказал, что тем не менее, критическая прямая $Res=\frac12$ является исключительным множеством для нулей $f(s)$, то есть для $N_0(T)$ — числа нулей $f(s)$ на отрезке $Re s=1/2$, $0<Im s\le T$ имеет место оценка $N_0(T)>cT \exp\left(0,05\sqrt{\ln\ln\ln\ln T}\right)$, где $c>0$ — абсолютная постоянная, $T\ge T_0>0$. А.А.Карацуба исследуя количество нулей функции $f(s)$ в коротких промежутках критической прямой доказал: если $\varepsilon$ и $\varepsilon_1$ – произвольно малые фиксированные положительные числа, не превосходящие $0.001$; $T \geq T_0(\varepsilon,\varepsilon_1)>0$ и $H=T^{\frac{27}{82}+\varepsilon_1}$, то выполняется соотношение $$ N_0(T+H)-N_0(T)\ge H(\ln T)^{\frac{1}{2}-\varepsilon}. $$ В работе доказано, что для количества нулей функции Дэвенпорта-Хейльбронна $f(s)$ в коротких промежутках вида $[T,T+H]$ критической прямой последнее соотношение справедливо при $H\ge T^{\frac{131}{416}+\varepsilon_1}$. Этот результат в частности является приложением новых равномерных по параметрам оценок специальных тригонометрических сумм $W_j(T)$, $j=0,1,2$ в терминах экспоненциальных пар, в котором задача о нетривиальности оценки этих сумм относительно параметра $H$ сведена к проблеме отыскания экспоненциальных пар.
Ключевые слова:
функция Дэвенпорта-Хейльбронна, экспоненциальная пара, гипотеза Римана, успокаивающие множители Сельберга.
Поступила в редакцию: 15.11.2019 Принята в печать: 20.12.2019
Образец цитирования:
З. Х. Рахмонов, Ш. А. Хайруллоев, А. С. Аминов, “Нули функции Дэвенпорта–Хейлбронна в коротких промежутках критической прямой”, Чебышевский сб., 20:4 (2019), 306–329
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/cheb850 https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v20/i4/p306
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 126 | PDF полного текста: | 28 | Список литературы: | 26 |
|