О единицах кватернионного порядка неопределённой анизотропной тернарной квадратичной формы

В работе рассматриваются вопросы, связанные с группой единиц кватернионного порядка $O_{f}$, соответствующего неопределенной анизотропной тернарной квадратичной форме $f = f {\left(x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\right)} = x_{1}^{2} - b x_{2}^{2} - c x_{3}^{2}$, где $b,\ c > 0$ — целые числа, причем число $c$ не является нормой из квадратичного расширения $\mathbb{Q} {\left(\sqrt{b}\right)}$.
Относительно указанной группы единиц нами доказано,что она содержит бесконечную некоммутативную $2$-порожденную подгруппу, описываемую с помощью группы единиц Пелля. Первые исследования, относящие к группе единиц алгебры с делением были проведены в 1937 г. М. Эйхлером, установившим их конечную порожденность. Определенный интерес в связи с нашей работой представляют результаты, полученные Basilla J. M. и Bada H. в 2005 г. для уравнений вида $x^{2} - d y^{2} = \pm m$, которые могут быть применены в дальнейшем исследовании группы единиц.
Другой полученный нами результат относится к вопросу о числе попарно неассоциированных обобщенных кватернионов заданной нормы $m$ из $O_{f}$. Этот вопрос тесно связан с единицами порядка $O_{f}$ и с группами единиц Пелля.
Следует отметить, что в алгебрах матриц при изучении их арифметики получены простые точные формулы для числа примитивных неассоциированных справа (слева) целых матриц заданного определителя, которые имеют применения в так называемом дискретном эргодическом методе Ю. В. Линника при решении вопросов представимости целых чисел неопределенными изотропными тернарными квадратичными формами. Ряд результатов, относящихся к этому вопросу были получены первым из авторов.
Что же касается вопроса о числе неассоциированных обобщенных кватернионов заданной нормы $m$ порядка $O_{f}$, то насколько нам известно результатов описанных видов до сих пор не встречалось и видимо это связано с тем, что рассматриваемый нами порядок кватернионов, наверное, имеет довольно сложное строение.
В настоящей работе вместо точных формул удалось получить только верхнюю и нижнюю оценки для числа попарно неассоциированных кватернионов нормы $m$ из порядка $O_{f}$.