О разделимости одного класса вырождающихся дифференциальных операторов в лебеговом пространстве

Пусть $\Omega$ – произвольное открытое множество в $n$-мерном евклидовом пространстве $R_{n}$ и пусть $\Pi(0)$ – единичный куб с центром в начале системы координат. Для любой точки $\xi=(\xi_{1},\xi_{2},\ldots,\xi_{n})\in R_{n}$ и любого вектора $\overrightarrow{t}=(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n})$ с положительными компонентами определим параллелепипед $\Pi_{\overrightarrow{t}}(\xi)$ равенством
$$ \Pi_{\overrightarrow{t}}(\xi)=\left\{x\in R_{n} :\left(\left(x_{1}-\xi_{1}\right)/t_{1}, \left(x_{2}-\xi_{2}\right)/t_{2},\ldots, \left(x_{n}-\xi_{n}\right)/t_{n}\right)\in \Pi(0)\right\}. $$
Пусть $g_{j}(x) (j=\overline{1,n})$ – определенные в $\Omega$ положительные функции. Положим $\Pi_{\varepsilon,\overrightarrow{g}}(\xi)=\Pi_{\xi\overrightarrow{g}(\xi)}(\xi)$, где $\varepsilon>0$ и $\overrightarrow{g}(\xi)=(g_{1}(\xi),g_{2}(\xi),\ldots,g_{n}(\xi))$.
Предполагается, что множество $\Omega$ и функции $g_{j}(x), j=\overline{1,n},$ связаны следующим условием: (A) Существует постоянная $\varepsilon_{0}>0$ такая, что для всех $\xi\in\Omega$ и всех $\varepsilon\in (0, \varepsilon_{0})$ параллелепипед $\Pi_{\varepsilon,\overrightarrow{g}}(\xi)$ содержится в $\Omega$. Условие (А) является аналогом условия погружения, введенного П. И. Лизоркиным в 1980 году. В работе исследуется разделимость дифференциального выражения
\begin{equation}\tag{*} L(x,D_{x})=\sum_{|k|\leq 2r}a_{k}(x)D_{x}^{k} (x\in \Omega), \end{equation}
где $r$ – некоторое натуральное число, $k=(k_{1}, k_{2}, \ldots , k_{n})$ – мультииндекс, $|k|=k_{1}+k_{2}+\ldots+$ $+k_{n}$ – длина мультииндекса $k$, в лебеговом пространстве $L_{p}(\Omega), 1<p<+\infty$. Множество всех мультииндексов $k$, для которых $a_k(x)\not\equiv 0$, обозначим через $\mathscr{K}$. Пусть $O_\mathscr{K}$ – множество функций $u(x)\in L_{1, loc}(\Omega)$, имеющих обобщенные производные в смысле С.Л. Соболева $D_x^ku(x)$ для всех $k\in\mathscr{K}$. Дифференциальное выражение (*) называется $L_p$-разделимым, если для всех функций $u(x)\in O_\mathscr{K}$ таких, что $u(x)\in L_{p}(\Omega)$, $L(x, D_x)u(x)\in L_{p}(\Omega)$ имеет место включение $a_k(x)D^k_x u(x)\in L_{p}(\Omega)$ для всех мультииндексов $k\in \mathscr{K}$.
Работа состоит из пяти разделов. В первом разделе приведена формулировка основных результатов, во втором разделе строится правый регуляризатор для исследуемого класса дифференциальных выражений, а в разделах 3-5 приведены доказательства основных теорем работы.