Об оценке меры иррациональности $\mathop{\mathrm{arctg}}\frac12$

Оценка меры иррациональности различных трансцендентных чисел является одним из направлений теории диофантовых приближений. Начиная с работ Э. Бореля конца 19 века, разрабатывались как общие методы получения оценок для классов значений некоторых функций, так и специализированные подходы для оценки отдельных величин. Различные методы, в частности, применялись для исследования арифметических свойств значений функции $\mathop{\mathrm{arctg}} x$.
Для получения оценок показателя иррациональности значений $\mathop{\mathrm{arctg}} x$ многими авторами эта функция рассматривалась как частный случай гипергеометрической функции Гаусса. Одной из первых работ, в которой были получены такие оценки, стала работа М. Хуттнера 1987 г. [1], доказавшего общую теорему об оценках мер иррациональности значений гипергеометрической функции вида $F_2^1\left(1,\frac{1}{k},1+\frac{1}{k}|\varepsilon x^k\right), k\in\mathbb N, k\geq 2, \varepsilon=\pm 1.$ Большую роль в развитии темы сыграли работы А. Хеймонена, Т. Матала-Ахо и К. Ваананена [2], [3] в которых также был построен метод, позволявший получать оценки показателя иррациональности для значений $F_2^1\left(1,\frac{1}{k},1+\frac{1}{k}|z\right), k\in \mathbb N, k\geq 2$, в том числе для $F_2^1\left(1,\frac{1}{2},\frac{3}{2}|-z^2\right)=\frac {1}{z}\mathop{\mathrm{arctg}} z.$ Рассмотренный ими подход использовал приближение гипергеометрической функции полиномами Якоби и дал много конкретных результатов.
В последние десятилетия для построения оценок широкое распространение получили методы, использующие интегралы, симметричные относительно какой-либо замены параметров [4], [5], [6]. Впервые интеграл, принципиально использующий свойство симметричности, был применён в работе В.Х.Салихова [4] и позволил получить новую оценку показателя иррациональности для $\ln 3$. Чуть позже В. Х. Салихов [7], применив аналогичный симметризованный комплексный интеграл, получил новую оценку меры иррациональности числа $\pi$. В этой работе было использовано классическое равенство $\frac{\pi}{4}=\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{1}{2}+\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{1}{3}$. Таким же способом, то есть с помощью комплексного симметризованного интеграла, в работе Е. Б. Томашевской [8] были оценены значения вида $\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{1}{n}, n\in\mathbb N, n>2$, и улучшены некоторые предыдущие результаты для таких величин. Позднее, Е. Б. Томашевской [9] был разработан аналогичный интеграл для оценки $\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{1}{2}$, который позволил доказать результат $\mu(\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{1}{2})\leq 11.7116\dots,$ остававшийся лучшим до настоящего времени.
В 2014 г. К. Ву и Л. Ванг [10] немного улучшили результат В. Х. Салихова для $\ln 3$, рассмотрев другой тип интегральной конструкции, также использующей симметричность. В данной работе идея К. Ву и Л. Ванга применена для изменения интеграла Е. Б. Томашевской, что позволило улучшить его арифметические свойства и усилить предыдущий результат для меры иррациональности числа $\mathop{\mathrm{arctg}}\frac{1}{2}$.