|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)
ДОКЛАДЫ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
Оценки константы совместных диофантовых приближений
Ю. А. Басалов Тульский государственного педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула)
Аннотация:
Данная работа посвящена разработке нового подхода для оценки снизу константы наилучших диофантовых приближений. История вопроса оценки константы наилучших диофантовых приближений восходит к П. Г. Дирихле. С течением времени подходы, применяемые для решения этой задачи претерпели серьезные изменения. Из алгебры (П. Г. Дирихле, А. Гурвиц,
Ф. Фуртвенглер) это задача перешла в область
геометрии чисел (Г. Дэвенпорт, Дж. В. С. Касселс). Нельзя не отметить такую интересную составляющую данной проблематики, как тесная взаимосвязь диофантовых приближений с
геометрией чисел вообще, и алгебраическими решетками в частности
(Дж. В. С. Касселс, А. Д. Брюно).
Это дало новые возможности, как для применения уже известных результатов, так и для
применения новых подходов в проблеме наилучших диофантовых приближений
(А. Д. Брюно, Н. Г. Мощевитин).
В середине двадцатого века Г. Дэвенпортом была найдена фундаментальная связь значение константы наилучших совместных диофантовых приближений и
критического определителя звездного тела специального вида.
Позднее Дж. В. С. Касселс перешел от непосредственного вычисления критического определителя к оценке его значения с помощью вычисления наибольшего значения $V_{n,s}$ – объема параллелепипеда с центром в начале координат обладающего определенными свойствами. Этот подход позволил получить оценки константы наилучших совместных диофантовых приближений для $ n = 2, 3, 4 $ (см. работы Дж. В. С. Касселса, Т. Кьюзика, С. Красса).
В данной работе, основываясь на описанном выше подходе, получены оценки $ n = 5 $ и $ n = 6 $. Идея построения оценок отличается от работы Т. Кьюзика. С помощью численных экспериментов были получены вначале примерные, а затем и точные значения оценок $ V_{n,s} $. Доказательство этих оценок достаточно громоздко и представляет в первую очередь техническую сложность. Другим отличием постоенных оценок является возможность обобщзить их на любую размерность.
В рамках доказательства оценок константы наилучших диофантовых приближений нами был решен ряд многомерных оптимизационных задач. При их решении мы достаточно активно использовали математический пакет {\ttfamily Wolfram Mathematica}. Эти результаты являются промежуточным шагом для аналиттических доказательств оценок $V_{n,s}$ и константы наилучших диофантовых приближений $C_n$ для $n \geq 3$.
В процессе численных экспериментов была также получена интересная информация о структуре значений $ V_{n,s} $. Эти результаты достаточно хорошо согласуется с результатами полученными в работах С. Красса. Вопрос о структуре значений $ V_{n,s} $ для больших размерностей мало исследован и может представлять значительный интерес как с точки геометрии чисел, так и с точки теории диофантовых приближений.
Ключевые слова:
наилучшие совместные диофантовы приближения, геометрия чисел, звездные тела, критические определители.
Поступила в редакцию: 09.09.2019 Принята в печать: 12.11.2019
Образец цитирования:
Ю. А. Басалов, “Оценки константы совместных диофантовых приближений”, Чебышевский сб., 20:3 (2019), 405–429
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/cheb822 https://www.mathnet.ru/rus/cheb/v20/i3/p405
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 152 | PDF полного текста: | 38 | Список литературы: | 20 |
|