On a property of nilpotent matrices over an algebraically closed field

Предположим, что $F$ - алгебраически замкнутое поле. Докажем, что кольцо $\prod_{n=1}^\infty \mathbb M_n(F)$ обладает специальным свойством, которое несколько параллельно (и немного лучше) свойству, установленному Šter (LAA, 2018) для колец $\prod_{n=1}^\infty \mathbb M_n(\mathbb Z_2)$ и $\prod_{n=1}^\infty \mathbb M_n(\mathbb Z_4)$, где $\mathbb Z_2$ - конечное простое поле из двух элементов и $\mathbb Z_4$ является конечным неразложимым кольцом из четырех элементов.