Об экстремальных задачах типа Никольского–Бернштейна и Турана для преобразования Данкля

Изучается взаимосвязь между экстремальными задачами типа Турана и Никольского–Бернштейна на $\mathbb{R}^{d}$ с весом Данкля. Задача Турана состоит в нахождении супремума заданного момента положительно определенной (относительно преобразования Данкля) функции с носителем в евклидовом шаре и фиксированным значением в нуле. В точном $L^{1}$-неравенстве Никольского–Бернштейна оценивается супремум-норма лапласиана Данкля целой функции экспоненциального сферического типа с единичной $L^{1}$-нормой. Также отмечается связь с экстремальными задачами типа Фейера и Бомана. Преобразование Данкля покрывает случай классического преобразования Фурье в случае единичного веса.
Неравенства Никольского–Бернштейна являются классическими в теории приближений, а задачи типа Турана имеют приложения в метрической геометрии. Тем не менее мы доказываем, что они имеют один и тот же ответ, который явно выписывается. Простое доказательство опирается на наши старые результаты из теории решения экстремальных задач для преобразования Данкля.