Обобщённые разбиения Рози и множества ограниченного остатка

Рози ввел фрактальное множество, связанное со сдвигом двумерного тора на вектор $(\beta^{-1},\beta^{-2})$, где $\beta$ – действительный корень уравнения $\beta^3=\beta^2+\beta+1$ и показал, что данный фрактал разбивается на три фрактала, являющихся множествами ограниченного остатка относительно данного сдвига тора. Введенное множество получило название фрактала Рози. В дальнейшем были введены многочисленные обобщения фракталов Рози, нашедшие применения в целом ряде задач теории чисел, теории динамических систем и комбинаторики.
Журавлев ввел бесконечную последовательность разбиений исходного фрактала Рози на фрактальные множества и показал, что они также состоят из множеств ограниченного остатка. В настоящей работе рассматривается задача о построении обобщения таких разбиений для фракталов Рози, связанных с алгебраическими единицами Пизо.
В работе введена бесконечная последовательность разбиений $d-1$-мерных фракталов Рози, связанных с алгебраическими единицами Пизо степени $d$, на фрактальные множества $d$ типов. Каждое следующее разбиение последовательности является подразбиением предыдущего. Доказан ряд свойств, описывающих самоподобие введенных разбиений.
Показано, что введенные разбиения являются так называемыми обобщенными перекладывающимися разбиениями относительно некоторого сдвига тора. В частности, действие данного сдвига на разбиении сводится к перекладыванию $d$ центральных фигур разбиения. В качестве следствия получено, что разбиение Рози произвольного порядка состоит из множеств ограниченного остатка относительно рассматриваемого сдвига тора.
Также доказано, что орбита рассматриваемого сдвига тора обладает свойством самоподобия.