О некоторых $3$-примитивных полуполевых плоскостях

Развивается подход к построению и классификации полуполевых проективных плоскостей с использованием линейного пространства и регулярного множества. Решается задача построения проективной плоскости с фиксированными ограничениями на группу коллинеаций (автоморфизмов).
Проективная плоскость называется полуполевой, если ее координатизирующее множество есть полуполе, или кольцо с делением. Это алгебраическая система с двумя бинарными операциями, удовлетворяющая всем аксиомам тела, за исключением, возможно, ассоциативности умножения. Коллинеация конечной проективной плоскости порядка $p^{2n}$ ($p>2$ простое) называется бэровской, если она фиксирует поточечно подплоскость порядка $p^n$. Если порядок бэровской коллинеации делит $p^n-1$, но не делит $p^i-1$ при $i<n$, то коллинеация называется $p$-примитивной. Полуполевая плоскость, допускающая такую коллинеацию, также называется $p$-примитивной.
М. Кордеро в 1997 г. построила четыре примера $3$-примитивных полуполевых плоскостей порядка $81$ с ядром порядка $9$, используя регулярное множество, образованное $2\times 2$-матрицами. В статье рассмотрен общий случай $3$-примитивных полуполевых плоскостей порядка $81$ c ядром порядка $\leq 9$ и регулярным множеством в кольце $4\times 4$-матриц. Полученные авторами ранее независимо теоретические результаты применены для построения матричного представления регулярного множества и группы автотопизмов. Выделено восемь классов изоморфизма $3$-примитивных полуполевых плоскостей порядка $81$, включающих примеры М. Кордеро. Разработан алгоритм, оптимизирующий проверку попарной изоморфности полуполевых плоскостей, и его программная реализация. Показана разрешимость полной группы коллинеаций $3$-примитивных полуполевых плоскостей порядка $81$, вычислены порядки автотопизмов, в том числе бэровских.
Описано строение попарно неизотопных полуполей порядка $81$, координатизирующих восемь попарно неизоморфных $3$-примитивных полуполевых плоскостей порядка $81$. Найдены спектры мультипликативных луп ненулевых элементов, лево- и правосторонние спектры, максимальные подполя и автоморфизмы. Полученные результаты иллюстрируют гипотезу Г. Венэ о лево- или правопримитивности конечного полуполя и демонстрируют некоторые аномальные свойства конечных полуполей.
Методы и алгоритмы, представленные в статье, могут быть использованы для построения и исследования полуполей и полуполевых проективных плоскостей нечетного порядка $p^n$ также для $p\geq 3$ и $n\geq 4$.